1. Даны две пружины из одинакового материала, каждая из которых свита виток к витку. Диаметры пружин 3 и 9 мм, длины 1 и 7 см, диаметры проволок 0,2 и 0,6 мм. Коэффициент жесткости первой пружины 14 Н/м. Найдите коэффициент жесткости второй пружины.

Решение:

Из соображений размерности для геометрически подобных пружин , где С - безразмерная постоянная, а - какой-нибудь из геометрических размеров пружины, Е - модуль Юнга, имеющий размерность Н/м². Поэтому некоторая третья пружина диаметра 9 мм из проволоки диаметра 0,6 мм и длиной 3 см имеет коэффициент жесткости в 3 раза больше первой, т.е. 3*14 Н/м. Очевидно, что коэффициент жесткости третьей пружины отличается в 3/7 раза от коэффициента жесткости второй. Окончательно k=18 Н/м.

2. Определите сжатие Юпитеpa у полюсов ∆r/r₀ (∆r - разность экваториального и полярного радиусов), если известно, что средний радиус Юпитера r₀ = 70000 км, ускорение свободного падения у поверхности g = 20 м/с², время обращения вокруг оси Т равно 10 часам. Считайте для простоты, что основная часть массы планеты сосредоточена в компактном центральном ядре.

Решение:

Искажение формы связано с вращением планеты. Работа по перемещению элементарного тела по замкнутому контуру от полиса вдоль полярного радиуса до центра планеты, затем вдоль экваториального радиуса до поверхности и вдоль поверхности вновь до полюса - равна нулю. При этом работа при движения вдоль поверхности жидкости равна нулю, а против центробежной силы - . Окончательно

3. На гладкой поверхности лежат 4 свинцовых шара (рисунок). На них слева налетает шар со скоростью v₀. Все шары одинаковы, центры шаров лежат на одной прямой. Найдите скорость правого шара после всех coyдарений.

Ответ: Считая все удары неупругими, получим

4. Почему, спускаясь по канату "на руках", можно обжечься? Какое количество тепла может выделиться, если высота каната h = 5 м, а масса человека m = 70 кг?

Ответ: кДж.

5. Цепочка массы M = 10 г свободно подвешена за концы (рисунок). Найдите максимальную силу натяжения в цепочке.

Ответ: Сила натяжения максимальна в точке подвески цепочки и равна Н.
 

6. На некоторых реках недалеко от устья во время прилива наблюдается бор - волна, представляющая собой резкое повышение уровня воды (рисунок). Определите скорость движения бора, считая, что его форма не меняется со временем. Высота бора h = 1,5 м, глубина реки H = 3 м, скорость течения v = 1 м/c.

Решение:

Пусть скорость бора равна с. Перейдем в систему отсчета, движущуюся с бором. Тогда вода набегает со скоростью v₁=c+v, а после бора движется с некоторой скоростью v. Из закона Бернулли и из уравнения непрерывности получаем . Окончательно с = v₁ - v = 6,3 м/с.

 

7. Имеются две пружины из материалов с одинаковыми упругими свойствами. Все размеры пружин одинаковы; масса же первой пружины больше, чем масса второй (m₁>m₂).Обе пружины подвешены в поле тяжести (рисунок). К концу второй пружины прикреплен груз, масса которого равна разности масс пружин. Какая из пружин растянута на большую длину? Ответ обоснуйте.

Ответ: Вторая пружина растянется сильнее.

8. Металлический полый шар массы M заполнен резиной массы m=M/4. Два таких шара, двигаясь в невесомости навстречу друг другу с равными скоростями v₀, испытали центральное столкновение. Найдите установившуюся скорость разлета шаров. Известно, что незаполненные шары сталкивались упруго. Скорость звука в резине значительно меньше, чем в металле.

Решение: После удара металлические оболочки изменят свои скорости на противоположные, а резина сохранит начальную скорость. Это связано с тем, что за время удара, имеющего порядок R/с, деформируется лишь узкий слой резины толщины порядка Rс₂/с₁: здесь R - радиус шара, с₁ и с₂ - скорости звука в металле и в резине. После этого импульс каждого шара равен . Через достаточно большое время относительное движение оболочки и заполнения прекратится, и энергия перейдет в тепло. Тогда скорость каждого шара v определится из соотношения , откуда .

9. На наклонной плоскости с сухим трением вбит гвоздь, к которому прикреплен маятник. Первоначально нить параллельна ребру наклонной плоскости. Затем маятник отпускают без начальной скорости. Возможно ли, чтобы маятник остановился и остался под углом: а) , б) к первоначальному положению нити сразу после первого полукачания? маятник может лишь скользить по плоскости.

Решение:В плоскости клина на тело действуют скатывающая сила mg*sinα, сила трения скольжения и сила натяжения нити. Здесь а - угол наклона плоскости к горизонту. Чтобы тело остановилось и осталось на месте, пройдя угол α, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, скорость тела должна стать равной нулю. Приравняем работу силы трения и изменение потенциальной энергии: , при чем . Откуда . Во-вторых, проекция скатывающей силы на касательную к окружности, по которой движется тело, не должна превышать f: . Собирая эти два результата вместе, получим: и . Так как , то первое условие при заданном φ выполнимо всегда. Проверка второго показывает, что оно не выполняется при , а при выполняется. Итак, в случае а) остановка не возможна, а в случае б) возможна.

10. К концу пружины подвешены два одинаковых груза массы m каждый, соединенные нитью. В некоторый момент нить пережигают. Найдите амплитуду колебаний верхнего груза. Коэффициент жесткости пружины k, массами пружин и нити можно пренебречь.

Решение: Пружина растянута на величину . После пережигания нити положение равновесия шара соответствует растяжению пружины на величину . Следовательно, амплитуда колебаний равна